O sistema numérico com o qual estamos acostumados a trabalhar e pensar é
o sistema decimal.
Neste sistema os números são formados por algarismos correspondentes as unidades,
dezenas, centenas, milhares,etc....
É um sistema baseado na analogia de contagem com base dez.
Ou seja a raiz ou base desse sistema é dez e seus algarismos são:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional.
Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda(parte inteira) e à direita(parte fracionária).
Para representar uma número maior que 9 utilizamos os mesmos algarismos que são combinados ocupando posições diferentes no número que são representados pelas potências de 10.
O número decimal 234, por exemplo, é obtido pela soma apresentada a seguir:
234=200+30+4
ou 234=2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1
ou 234=2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100
Os números menores que 1 são representados através da notação em potências de dez, com as potências negativas.
O número 0,52 por exemplo, é obtido pela soma apresentada a seguir:
0,52=0,5+0,02
ou 0,52 = 5x0,1 + 2x0,01
ou 0,52 = 5x10¯¹ + 2x10¯ ²
Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:
Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n
sendo que
an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 é a parte inteira e
a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n é a parte fracionária.
Base de um Sistema de Numeração
A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação.
A base 10 é usualmente empregada, embora não seja a única utilizada.
Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os profissionais de hardware e software por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).
No estudo dos sistemas digitais trabalhar com o sistema decimal não é conveniente.
Utilizando o sistema binário de numeração, podemos representar uma informação com apenas dois valores.
Os valores 0 e 1 são utilizados para representar situações lógicas.
O estado lógico 0 e o estado lógico 1 são utilizados no estudo de sistemas físicos que assumem dois estados de funcionamento, representando situações como:
aberto | fechado |
| sem tensão | com tensão |
| desligado | ligado |
Se 0 representa uma determinada situação, então 1 representa a situação complementar, porém estamos mais acostumados a trabalhar com lógica positiva,como por exemplo:
| Nível lógico 0 | Nível lógico 1 |
| aberto | fechado |
| sem tensão | com tensão |
| desligado | ligado |
| apagado | aceso |
Em eletrônica digital a representação dos níveis discretos de tensão se faz utilizando os algarismos do sistema binário de numeração.
No caso da conversão de números fracionários em binário
Sistema binário de numeração
No sistema binário somente dois algarismos são utilizados: O e 1
| Binário | Decimal |
| 000 | 0 |
| 001 | 1 |
| 010 | 2 |
| 011 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Quando os símbolos 0 e 1 são usados para representar números binários, cada símbolo é chamado de dígito binário, ou simplesmente de bit.
O número binário 1012 é chamado de número binário de três dígitos ou de número binário de três bits.
As regras de formação de um número em binário são as mesmas que foram
utilizadas para o sistema decimal, com exceção de que no sistema binário a base é igual a 2.
O resultado da soma é igual ao equivalente no sistema decimal
101 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)
101 = (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1)
101 = 4 + 0 + 1 =
basta usar o método do exemplo abaixo:
0.011 = (0 x 2-1) + (1 x 2-2) + (1 x 2-3)
ou 0.011 = (0 x .5) + (1 x 0.25) + (1 x .125)
ou 0.011 = 0 + 0.25 + 1.125 = 0.37510
Sistema hexadecimal e octal
O sistema de números octais tem a base igual a 8, o que indica o uso de oito algarismos, sendo todos equivalentes aos do sistema decimal. Os algarismos usados neste sistema, são:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
O sistema de números hexadecimal usa a base 16, o que indica o uso de dezesseis símbolos, sendo os mesmos símbolos usados no sistema decimal mais as seis primeiras letras do alfabeto.
Os algarismos utilizados no sistema hexadecimal são:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
As seis primeiras letras do alfabeto, utilizadas no sistema hexadecimal como números representam as seguintes quantidades:
A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15
Representação em Octal e Hexadecimal
O sistema de números hexadecimais é muito usado em projetos de hardware e software, já que estes representam grupos de dígitos binários, facilitando a representação de códigos binários.
É usual representar quantidades usando sistemas em potências do binário, para reduzir o número de algarismos da representação.
No sistema octal (base 8), três bits são representados por apenas um algarismo octal (de 0 a 7).
No sistema hexadecimal (base 16), quatro bits são representados por apenas um algarismo hexadecimal (de 0 a F).
A tabela a seguir mostra uma comparação entre números decimais,
binários,octais e hexadecimais.
Conversões entre Bases
Conversões entre as bases 2, 8 e 16 & Conversão binário-octal
Como 23 = 8, separando os bits de um número binário em grupos de três bits
(começando sempre da direita para a esquerda para a parte inteira) e convertendo cada grupo de três bits para seu equivalente em octal, teremos a representação do
número em octal.
exemplo 101010012 = (x) 8
separando em grupos de 3 bits
| 101010012 = | 010 | 101 | 001 |
Sabemos que 0102 = 28 ; 1012 = 58 ; 0012 = 18 e portanto, 101010012 = 2518
Conversão octal-binário A conversão inversa se faz convertendo cada dígito octal por um grupo de três dígitos binários.
exemplo 17658=(x) 2
| 1 | 7 | 6 | 5 |
| 001 | 111 | 110 | 101 |
Portanto,
17658=0011111101012
Conversão binário-hexadecimal
Como 24=16, basta separarmos em grupos de 4 bits (começando sempre da direita para a esquerda para a parte inteira) e converter cada grupo para seu equivalente em hexadecimal.
exemplo
110101011012 = (x) 16
separando em grupos de 4 bits
| 110101011012 = | 0110 | 1010 | 1101 |
Cada grupo de 4 bits é então substituído pelo equivalente hexadecimal,
então: 1102 = 616; 10102 = A16 ;11012 = D16
Portanto, 110101011012 = 6AD16.
Conversão hexadecimal-binário
A conversão inversa se faz convertendo cada dígito hexadecimal por grupos de
dígitos de quatro dígitos binários.
exemplo
3F516 = (x) 2
| 3 | F | 5 |
| 0011 | 1111 | 0101 |
Portanto,
3F516 = 11111101012
Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10
Para se determinar o equivalente decimal de um número escrito numa base b usamos:
Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n
Exemplos:
1011012 =4510
1011012 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4510
4F516 = 126910
4x162 + 15x161 + 5x160 = 126910
Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer
Parte inteira
O número decimal deverá ser dividido sucessivas vezes pela base, sendo que o
resto de cada divisão será igual a um algarismo do novo número.
O exemplo mostra a conversão do número 3010 para a base 2:
Parte fracionária
O processo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas
do número fracionário a ser convertido pela base.
A parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa
fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base e assim por diante,
até o resultado ser igual a zero ou até encontrarmos o número de casas decimais desejado.
Por exemplo, vamos converter 0,6510 para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionários:
| Aproximação com 5 dígitos | Aproximação com 10 dígitos |
| 0,65x2=1,3 0,3 x2=0,6 0,6 x2=1,2 0,2 x2=0,4 0,4 x2=0,8 | 0,8 x2=1,6 0,6 x2=1,2 0,2 x2=0,4 0,4 x2=0,8 0,8 x2=1,6 |
| Número equivalente 0,65=0,10100 | Número equivalente 0,65=0,1010011001 |
Conversão de Números entre duas Bases quaisquer
Para converter números de uma base b para uma outra base bx qualquer,
o processo prático utilizado é converter da base b dada para a base 10 e depois da base 10 para a base bx pedida.
Fonte: www.novaeletronica.net/q/n4/clog_dig/aula01.htm
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